校级课程思政示范课程《数学分析》课程思政教学案例-理学院

开课学院：理学院制作人：刘文军

课程名称	数学分析Ⅰ	授课对象所属专业	数学与应用数学
课程类型	理论课	开课年级	2021、2022级
课程性质	专业基础必修课	课程总学时	84学时

一、课程简介（300字左右）

《数学分析》是数学与应用数学专业学生必修的最重要的专业基础课，也是数学专业学生考研必考的课程。它是一门比较难的课程，有其固有的特点，就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

授课对象是数学与应用数学专业的大一本科新生，刚刚经历了高考，大部分同学都有较好的数学基础，还也有一部分同学数学功底较差，高考数学没及格。

由于本课程知识的高度抽象性和学生个体数学基础的差异性，导致学生认知和理解能力参差不齐，部分学生的学习兴趣比较低，有畏难情绪。这就需要任课老师因材施教，循循善诱，改进完善教学内容和教学方法，激发学生的主观能动性。

二、案例基本信息

1.案例名称：循序渐进，科学发展——函数的连续性概念

2.对应章节：第四章第1节函数的连续性

3.课程讲次：第1讲

三、案例教学目标

知识目标：了解生活中许多事物具有连续性这一特点；理解函数的连续性的定义，能够利用定义研究函数的连续性；在掌握函数连续性的三要素的基础上，理解函数的间断点的定义，能够清晰辨别出函数的间断点的不同类型。

能力目标：培养学生抽象逻辑思维能力，提升学生分析、类比、归纳、演绎的能力；培养学生的数学建模思想和意识；提升学生用数学知识解决实际问题的数学应用能力。

德育目标：通过介绍自然界中的现象，比如水稻的生长、气温的变化以及河水的流动，直观认识连续现象的普遍性以及复杂性，引导学生形成科学的发展观，遵循事物的发展规律，不能急于求成；通过引入习近平总书记的讲话，引导学生树立正确的学习观，循序渐进，形成良好的学习态度和价值观。

四、案例主要内容

主要内容：

1.理解函数在一点连续和在区间上连续的概念，掌握证明函数连续性的方法。

2.理解函数间断点的定义以及间断点的分类，掌握判断函间断点类型的方法。

教学重点: 1.函数在一点连续的概念。2.函数间断点的定义以及间断点的分类

教学难点: 1.利用定义证明函数的连续性。2.判断函数间断点及其类型。

五、案例教学设计

1.以“学生为中心"的教学环境设计

教学以学生为中心，课前学生借助教材和中国大学MOOC资源进行自主学习；课中创建宽松和谐的课堂教学环境，加强师生互动、生生互动；课后学生要自主探究完成作业、测试、报告等任务，注重发挥学生的主观能动性。这样的环境设计，有利于提升学生认真严谨、求真务实、团结合作、独立思考、勇于探索的综合素养。

2.教学方法设计

（1）问题教学法。问题教学法是教师在课堂上常用的教学策略。例如，教师可以利用慕课堂提问、学生抢答的方式，检验学生课前线上预习与前测效果。再如，教师用慕课堂点名提问，让学生回答连续定义与函数极限定义的异同点，让学生加强对连续性定义的认识。

（2）启发教学法。教师运用启发教学法激发学生的学习兴趣。例如，在引入函数连续性概念时，教师可以问学生：“每日气温的变化、植物的生长、河水的流动、身高的变化等，这种连续不断变化的现象，是否能用数学语言来描述？”

（3）小组讨论教学法。通过小组讨论教学法培养学生团结协作、勇于探索的精神。例如，让学生分组讨论特殊函数的连续性，让他们把讨论结果发到中国大学MOOC讨论区。

3.课前任务设计

教师的教学准备：1）利用慕课堂精心备课，对学生当前的学习情况和学习能力进行合理分析，制定详细的课堂教学流程。2）在中国大学慕课SPOC平台设计好学生自主学习任务，精心设计SPOC平台的学习视频、学习文档、随堂测试、单元作业、单元讨论、单元测试、课内实践报告等。3）利用中国大学MOOC的慕课堂设计课堂练习、课堂讨论、问卷、公告等环节。4）精心设计课程思政融入点和融入方法。

学生的学习准备：1）课前看教材，有目的、有重点地预习“函数的连续性概念”的有关内容。2）课前观看在中国大学慕课上的“函数的连续性概念”的教学视频，完成随堂测试（即课前测试）。

4. 课堂教学过程设计（90分钟）

教学环节	教学内容	时间安排	师生活动	教学方法	育人目标与思政元素
前测解析	1.给学生提出一些简单的基本概念问题，以检验预习效果。如：函数连续性定义是如何表述的？函数的间断点是如何定义和分类的？ 2.分析学生前测的解答情况，讲解易错点	6分钟	以教师利用慕课堂提问、学生抢答的方式，检验学生课前线上预习与前测效果。	问题教学法	督促学生养成预习的好习惯。培养学生自主学习的能力。
知识导入	提问：每日气温的变化、植物的生长、河水的流动、身高的变化等，这种连续不断变化的现象，是否能用数学语言来描述？融入思政: 引导学生形成科学的发展观,必须遵循事物的发展规律，不能急于求成.	4 分钟	师生互动，教师可以在慕课堂发出问卷，让学生思考回答。	启发教学法	关注事物发展的连续性，引导学生形成科学的发展观
函数在一点连续性概念教学	一．函数在一点的连续性定义 1 设在某内有定义, 若，则称在点连续. 等价定义1 函数在点连续的充分必要条件是. 思考探究：由函数极限的定义，探究函数在一点连续的精确定义等价定义2 函数在点连续的充分必要条件: 对任给的存在使得当时有. 提问：大家可以比较函数在一点连续定义和在一点有极限的定义，说出两者的异同点。等价定义3 在点连续 . 等价定义4 函数在点连续的充分必要条件是: 对任何以为极限的数列, 都有 . 定义2 设函数在某内有定义, 若则称在点右（左）连续. 定理4.1 函数在点连续的充要条件	25分钟	师生共同探讨研究函数在一点的连续定义式的各种等价形式。由极限的精确定义，类比演绎出函数在一点连续的精确定义（连续的等价定义2）用慕课堂点名提问，回答连续定义与函数极限定义的异同点。	多媒体结合黑板讲授类比演绎学习法问题教学法	培养学生抽象逻辑思维能力；提升学生分析、类比、演绎的能力，形成科学的数学素养和严谨的治学态度。
例题教学	例1 证明函数在点连续, 其中为狄利克雷函数. 例2 讨论函数在点的连续性.	10分钟	教师精讲细讲，学生学习掌握解题思路	案例教学法	通过精讲例题，能让学生掌握严谨的思维方法。
间断点及其分类的理论教学间断点及其分类的理论教学	二．间断点及其分类连续的对立概念是间断。教师可以联系到学习需要连续性，特别是联系到学生喜欢看手机获得碎片化知识。这里可以适时引入引入习近平总书记在北大师生座谈会的讲话：“学习就必须求真学问，求真理、悟道理、明事情，不能满足于碎片化的信息、快餐化的知识。” 1. 间断点的定义定义3 设函数在某内有定义. 若在点无定义, 或在点有定义而不连续, 则称点为函数的间断点或不连续点. 提问：按此定义及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论, 若为函数的间断点, 则会出现哪些情形？ 2. 间断点的分类： 1）可去间断点若 ,而在点无定义, 或有定义但则称为的可去间断点. 提问：为什么称为“可去”间断点? 2）跳跃间断点若函数在点的左、右极限都存在, 但则称点为函数的跳跃间断点. 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点, 第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在. 使得函数至少一侧极限不存在的那些点, 称为第二类间断点. 提问：请仔细分析一下，第二类间断点又可以细分为哪些情形？三．区间上的连续函数若函数在区间上的每一点都连续, 则称为上的连续函数.	30分钟	教师通过情境导入，引出思政教育主题用慕课堂点名提问，谈谈间断点会出现几种情形？用慕课堂提问：为什么称为“可去”间断点? 老师让学生举例说明第二类间断点可以细分为哪几种情形？	思政元素融入问题教学法问题教学法启发教学法	引导学生树立正确的学习观，学习过程是连续不断的、循序渐进的；对于碎片化、快餐化的知识，要分析与整合，建立知识网，内化为整体。
课堂练习	求的间断点，判断类型。	6分钟	用慕课堂发布课堂练习，学生独立做	练习教学法	培养学生的独立思考能力。
讨论交流	讨论函数的连续性	8分钟	学生分组讨论	小组讨论法	培养学生团结协助、勇于探索的精神。
总结反思	教师对本讲“函数的连续性”做总结，强调重点，突出难点、易错点。	1分钟	教师总结，学生反思	反思教学法	培养学生的总结反思能力。