开课学院：理学院 制作人：何建新
课程名称 |
高等数学A |
授课对象所属专业 |
微电子 |
课程类型 |
专业基础课 |
开课年级 |
2023 |
课程性质 |
必修 |
课程总学时 |
80 |
一、课程简介
《高等数学 A（上）》 是高等院校各专业学生重要的通识学科基础课程、学位课程和研 究生入学考试课程。本课程主要内容包括函数与极限，导数与微分，微分中值定理与导数的 应用，不定积分，定积分及其应用和微分方程。作为一门逻辑严密，系统完整的课程，高等 数学不仅是其他数学分支的重要基础，而且在自然科学、社会科学领域中有着十分广泛的应 用，是理工类以及其它许多专业最重要的学科基础课程之一。它所体现的数学思想、逻辑推理方法、处理问题的技巧，在整个学习和科学研究中，起着重要的作用。通过该课程的学习，学生将获得必需的高等数学的知识，学会应用变量数学的方法分析 研究数量关系，培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自 学能力，以及运用所学知识综合分析问题和解决问题的能力，树立辩证唯物主义的观点。一 方面本课程为后继课程提供所需的基础理论和知识，另一方面学生通过该课程的学习提高思 维能力，开发智能，强化“三基 ” (基础知识、基本理论、基本技能)以及提升相关的数学技
能(数学思想+数学方法+数学技巧)等。
二、案例基本信息
1.案例名称：导数的概念
2.对应章节：第二章 第一节
3.课程讲次：2
三、案例教学目标
1.感受祖国科技的进步，激发民族自豪感与使命感，增强爱国主义情怀，引导学生树立好好学习科技报国的理想；
2.培养逻辑推理、直观想象、数学抽象的数学核心素养，理解微分和导数的概念、关系和几何意义；
3.渗透辩证唯物主义思想，学会用发展的眼光看待事物；
4.培养面对未知问题不怕困难勇于探索的精神，对于复杂的推理过程严谨细心的工匠精神；
四、案例主要内容
1.通过中国最 "聪明"的高铁 "京张高铁"引入瞬时速度的概念，激发学生的学习兴趣，感受祖国科技的进步激发民族自豪感与使命感，增强爱国主义情怀；
2.经历牛顿探索导数定义的过程， 以数学家精神点燃学生的求知热情；
3.了解无穷小引发的第二次数学危机，感受科学发展的坎坷，培养学生敢于质疑、不唯权威、不怕困难的科学精神；
4.从瞬时速度到曲线切线的斜率抽象出导数的定义，学习数学抽象的思想方法，感受导数公式的对称美；
5.分析导数定义中包含的运动与静止的对立统一、量变到质变、变与不变的辩证唯物主义， 培养学生用运动、变化、发展的观点看问题，不能用僵化的、静止的、不变的思想来思考问题，能用科学辩证的眼光看待事物;
6.通过求导公式的推导证明，培养学生的逻辑推理能力；
7.通过开展小组活动提升学生沟通能力与协作意识
8 .利用 与学生专业相关的例子， 激发学生应用数学知识解决实际问题的兴趣。
五、案例教学设计
教学流程如下： 
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 提出问题】 创设情境，导入新课，激发学生学习兴趣
通过京张高铁上一段电子屏幕显示的不断变化的速度视频引入，教师介绍： 这是 "最聪明的高铁"  世界首条智能高速铁路及 2022年冬奥会重点配套项目 - -京张高铁 。通过一段新闻视频了解 "最聪明的高铁"有多强，在同学们发出惊 叹的同时引出 "瞬时速度"的概念， 提出问题：瞬时速度怎么求？ 
追根溯源 】经历知识产生的过程，探索概念的本质 通过  说故事  的方法将牛顿在研究物体运动过程中创立微积分的历史娓娓道来。牛顿在 1671 年写了 《流数术和无穷级数》，他在这本书里把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是： 已知连续运动的路径，求给定时刻的速度 (微分法 )； 已知运动的速度求给定时 |
间内经过的路程 (积分法)。 
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学生经历一遍牛顿走过的路： |
引导学生发现问题，引出数学史上第二次数学危机的故事。 通过这样一个创 造 —否定 —完善的过程，学生明白了在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗 争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。往往危机 的解决，给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。 其实，人生 也是这样，一时的挫折并不是坏事， 它有可能成为更上一层楼的动力  
引导学生利用学过的极限知识解决问题，最终得到瞬时速度的计算方法，进 而抽象出导数的概念： 
通过导数概念的形成过程， 可以让学生掌握从具体到抽象  特殊到一般的思 |
维方法；领悟极限思想和函数思想。 探究活动 】类比瞬时速度的问题解决方法， 解决冬奥单板运动员腾空飞跃时的 某点速度所在直线 (这一点处的切线) 的斜率。 ( 小组合作) 
 抽象概念】 引导学生去发现这两个问题的共性 进而总结出导数的定义。 (培
养学生用数学的语言表达) 虽然一个是物理问题，一个是几何问题，背景不同，但求解思路却完全一致： 首先，从研究方法上看，都是将一点的问题，扩展到一个小区间上去研究，得到 问题的近似解，然后通过取极限求得问题得精确解!这种以不变代变，用近似逼 近精确的研究方法是科学研究的一种重要方法，充满着辩证法的思想。 其次，从 结果形式上看，所求量都是一种特殊形式的极限-增量之比的极限。第一个极限： 路程增量与时间增量之比，第二个极限是：纵坐标增量与横坐标增量之比。不论 是路程增量还是纵坐标增量，表示的都是函数增量，而时间增量和横坐标增量表 示的则是自变量增量，因此这两个增量之比的极限，其数学本质是函数增量与自 变量增量之比， 当 自变量增量趋向于 。时的极限。 举一反三 】小组合作探究 提出问题：  引导学生 类比左右极限、左右连续得到左右导数的定义。 |
 感受数学公式的和谐美)
公式推导 】小组合作+学生黑板板演 
 感受数学推导的逻辑与魅力 )
学以致用 】解决实际问题 案例 1[低频跨导] 具有 PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的 电压微变之比称为低频跨导．一种 PN 节的半导体器件，其转移特性曲线方程为  ，求电压  伏时的低频跨导. 解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比， 它在 伏 |
时的变化率为 I =   0  =   0  = 10 案例2 坦克爬坡] 已知某型坦克的最大爬坡角度为 ，在执行任务时，需要爬过一个山坡，如图所示， 上坡截面的边界 曲线方程为 ， 问坦克能否沿着边界爬过这个山坡？ 
分析：坦克能否爬过这个山坡取决于各点处山坡的倾斜角也就是山坡曲线在各点 处的切线倾角是否小于。根据今天所学知识，我们知道切线倾角 α 的正切值， 也就是切线斜率，就等于山坡曲线该点处的导数。 而山坡曲线 f(x) 已知， 因此 求导就能求出 的表达式，进而求出 α 的范围了。 解：设山坡上 x 点处切线倾角为  (不妨假设  )， 由导数的几何意义知， 
由题设条件， 因此得出 ，于是 α 因此得出 山坡倾斜角小于 ， 因此坦克能爬上山坡。 |
课程小结】 会用数学的眼光观察现实世界， 具体落实上表现为符号意识、 空间意识、几何直观； 会用数学的思维思考现实世界， 具体落实上表现为逻辑推理、数学运算；会用数学的语言表达现实世界， 具体落实上表现为模型意识、数据意识。 |
六、教学反思
通常概念课的教学比较枯燥，容易变成教师讲的口干舌燥，学生听的昏昏欲睡的课堂。本节课利用我国的智能高铁-京张号高铁引入，潜移默化地激发学生的爱国情怀，一开始就给课堂注入一剂强心针，让昏昏欲睡的同学抖擞精神。接下来，为了解决问题，带领学生经历数学发展的伟大且坎坷的历程，学生看似在听故事，其实也在不断地思考，不断地给出解决问题的办法， 自然而然地得到导数的定义。让学生经历知识的形成过程，从而更好的掌握知识。同时，通过了解微积分发展的相关历史以及伟大的数学家的知难而上的精神，润物无声地培养学生刻苦钻研和勤奋向上的科研精神和学习态度 。从而在知识学习上、思想方法上以及情感教育上达到有机的融合，达到课程初始设计的目的。
学生经历比较分析、抽象概括等思维过程，感受数学来源于生活，服务于生活，体会概念的形成过程；以问题为牵引，类比归纳了两类问题的共性，利用极限思想给出 了函数在一点处的导数及导函数的定义，加深学生对概念的理解；分析了导数的几何意义，学以致用，探讨了它在军事上的应用，实现导数概念的感性认识到理性认识的升华。
