开课学院：理学院 制作人：王玉娟
课程名称 |
高等数学 |
授课对象所属专业 |
土木工程 |
课程类型 |
专业基础课 |
开课年级 |
大一 |
课程性质 |
必修课 |
课程总学时 |
164 |
一、课程简介：
《高等数学》是理科自然科学类和技术科学类本科各专业学生一门必修的重要基础理论课，它是为培养学生的基本素养、学习后续课程服务的。本课程的主要内容包括：函数与极限；导数与微分；微分中值定理与导数的应用；不定积分；定积分；定积分的应用；微分方程；空间解析几何；多元函数微分学；多元函数积分学；无穷级数。其中空间解析几何是学习多元函数微积分学的重要工具，多元函数微积分学是本课程的核心，无穷级数是相关理论的拓展。
作为一门基础学科，高等数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。只有具备了高度抽象和统一才能深入揭示其本质规律，才能使之得到广泛应用。本课程是后续一系列应用类课程的基础，是将数学理论应用于现实问题的重要桥梁；也是适应信息时代发展需要多种领域研究的重要基石。通过本课程的学习，要使学生掌握课程内容的基本概念、基本理论和基本技能，逐步培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力，较熟悉的运算能力和自学能力，注意培养综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。同时还需注重思想政治教育的融入，帮助学生建立正确的世界观、人生观、价值观，实现全方位的三全育人教学目标。
二、案例基本信息：
1.案例名称：中国高铁辉煌成就-导数的概念
2.对应章节：第二章第一节
3.课程讲次：第15次
三、案例教学目标：
知识目标：
1.理解导数的几何意义与物理意义；
2.掌握导数定义；
3.会利用导数定义验证导数公式。
能力目标：
1.培养学生的逻辑思维能力，理解思维能力及数学建模能力；
2.培养学生的类比思维能力和创新思维能力。
德育目标：
1.通过我国高铁运行视频中的两个具体问题，提出要解决的瞬时速度和切线的斜率问题，通过讲述中国高铁辉煌成就激发学生的爱国情怀;
2.在解决问题时引导学生用全面、发展、联系的观点看问题，无论是学习还是生活中可能每个人都会遇到许多意想不到的问题，我们在处理时都要用运动、变化、发展的观点看问题，不能用僵化的、静止的、不变的思维来思考问题，教学中渗透了辩证唯物主义的观点。
3.解决了相关问题后，通过相关研究的历史背景以及科学家的介绍，鼓励学生学习科学家身上那种孜孜不倦、勤奋探索的科研精神，培养学生严谨客观的科学态度，增强了课程的知识性、人文性、引领性和时代性。
四、案例主要内容：
能够理解变速直线运动速度、切线斜率；能够抽象出导数概念；能够利用导数概念计算导数利用案例教学法、讨论类比教学法等多种教法，借助新闻图片等媒体，以我国高铁运行的一个简短视频的方式展示教学内容，理论联系实际，通过我国高铁运行视频中的两个具体问题，提出要解决的瞬时速度和切线的斜率问题，通过讲述中国高铁辉煌成就激发学生的爱国情怀，同时在解决问题时引导学生用全面、发展、联系的观点看问题。
五、案例教学设计：
1.提出问题:
首先创设情境，以案例式教学方式给出现实生活中的一个实际问题：我国高铁运行的一个简短视频.视频中高铁的车厢内显示了高铁每个时刻的运行速度，同时也会显示高铁在弯道内平稳的运行，示意图如图1所示.
图1列车瞬时速度和弯道平稳性实验（乘客）
接下来给学生介绍我国铁路发展的历程，一代代的铁路人经过了不懈的努力才取得了今天高铁辉煌的成就.中国如今拥有世界上首条新建的高寒高铁，世界上单条运营里程最长的高铁，世界上一次性建成里程最长的高铁，截至2020年底，中国高速铁路运营总里程达3.8万公里，居世界第一。列车最高运营速度350千米/小时，居全球首位。高铁已经成为中国科技创新的标志性成果，也是中国向世界递出的一张靓丽的名片.在视频中同学们看到了飞驰的高铁，一定会为我们伟大的祖国感到骄傲和自豪。通过例子激发学生的爱国情怀，同时也可以增强学生的责任感和使命感.
同时提出两个问题：第1个就是高铁在运行的时候，电子屏幕上时刻会显示它的运行速度，每个时刻的速度都是不同的，这个速度是如何求出来的?第2个就是高铁在驶入弯道的时候，为了保持高铁的平稳运行，设计轨道时会涉及到求曲线的切线斜率问题，那么曲线的切线斜率又该怎么求解的呢?
（2）解决问题。变速直线运动的瞬时速度问题.把高铁看作质点（如图3中直线上实心圆点），设质点做变速直线运动，其位移函数为S=S(t)，怎样求
时刻的瞬时速度呢?
图2高铁直线运动抽象化
为了求出时刻的瞬时速度，再取一个时刻t，先计算出从到t时间间隔内的平均速度，平均速度就等于这段时间内所经过的路程除以所需的时间，即=,当所取的时间间隔很小时，从到t时间间隔内的平均速度就很接近时刻的瞬时速度，可以用平均速度近似代替时刻的瞬时速度.若所取的时间间隔越小，则这个平均速度就越接近时的瞬时速度.让t无限地趋近，若平均速度的极限存在，这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度.
曲线上一点处的切线斜率问题。设曲线C为函数
的图像（图3），列车在弯道的运行可看作是曲线上点M沿着曲线运动，列车在弯道处的运动方向可看作是求切线MT的斜率.
图3列车弯道平稳性实验抽象化
为求切线MT的斜率，记曲线C上点
，在曲线C上再取一点
，作割线MN，其斜率为
,当点N沿曲线C无限接近于点M.割线MN的极限位置就是曲线C在点M处的切线.当点N沿曲线C无限接近于点M时，则有
，对割线MN的斜率取极限，若极限存在，则该极限值就是切线MT的斜率.
从上面的两个例子我们可以看到，当间隔取得足够小，平均速度的极限就是瞬时速度，割线斜率的极限就是切线斜率。世界上没有僵化的一成不变的事物，整个世界是一个变化发展的世界，我们对待问题的看法，处理问题的方法也应该是变化的、发展的，生活中的喜怒哀乐都是暂时的，只要你能正确的面对，科学的处理，一切都会向着好的方向发展.
2.问题的历史背景:
其实讨论的这两个问题，早在17世纪，就由英国的数学家牛顿和德国的数学家莱布尼茨进行了研究.由这两个问题以及解决相关问题而发展起来的数学理论称为微分学.接着为同学们介绍两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨.17世纪下半叶，英国的数学家牛顿为解决运动问题，创立了这种和物理概念直接联系的数学理论，牛顿称之为“流数术”，实际上就是微积分理论.牛顿用它处理了一些具体的问题，如求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大值和极小值问题等.同时德国的数学家莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进了微积分的概念，得出了相应的运算法则，从几何方面发现了微积分.莱布尼茨创立微积分的途径和方法与牛顿是不同的，牛顿在微积分的应用上更多的结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一等，但莱布尼茨创造的微积分符号却又远远优于牛顿，既简洁又准确地揭示了微积分的实质，强有力的促进了微积分的发展.因此，牛顿和莱布尼茨被公认为是微积分的创立者和奠基人.通过介绍激发学生的学习兴趣，让学生了解数学发生、发展的相关历史，培养学生刻苦钻研及勇攀科学高峰的责任感和使命感，同时也提高了学生的人文素养.
3.抽象出导数定义:
通过两个背景，抽象出任意函数在的导数概念:
右导数：
左导数：
例1求函数
的导数.
例2求
在
处的导数.
例3求
在
处的导数.
例4设函数
讨论该函数在处的连续性与可导性.
4.反思问题:
通过对“导数”的两个引例及其定义的学习，学生懂得了每一代人有每一代人的责任、使命和担当。大学生应该以主人翁精神学习科学知识努力探索未知世界，通过主动观察生活，积极思考，尝试学以致用。同时，教师要引导学生用心感受生活中的数学，体验数学思考所带来的乐趣，乐观向上、热爱生活、热爱学习，具有追求真、善、美的品格，立志学好数学、用好数学，为将来投身祖国建设做好准备。
六、教学反思:
优点：
1.在学案的设计上基于课程特点的6个切入点在具体实施课程思政的时候给了我们很大的启示，有的放矢，高等数学的课程思政不再那么抽象。
2.中国高铁行驶的视频，引入该例子达到两个目的：一是引出我国现阶段的靓丽名片——中国高铁，潜移默化地激发学生的爱国情怀；二是引出和导数概念相关的两个问题，有力地帮助学生了解导数的实际背景以及几何意义和物理意义。
3.在解决相关问题时运用了运动、变化、发展的唯物主义观点，平均速度取极限得到瞬时速度，割线斜率取极限得到切线斜率，引导学生用发展的观点看问题，坚持与时俱进，培养学生的创新精神。
4.微积分发展的相关历史以及科学家的介绍，目的是培养学生刻苦钻研和勤奋向上的科研精神和学习态度.。
5.问题设置由浅入深，有层次、有目标地解决各个难点，运用生活中的例子更形象地解释抽象的概念，更好地符合学生的学习规律；
6.本思政教学案例在设计时以学生为中心，既注重知识传授与专业培养需求，又注重将数学文化中的人文情怀和科学钻研精神贯穿其中。在知识学习上、思想方法上以及情感教育上达到有机的融合，达到课程初始设计的目的。
缺点及改进措施：
1.时间安排比较紧。
2.学生参与度不是特别高。
在今后的平时的教学中下功夫，特别是学案设计，要让最新的社会动态、科技动态等思政元素融入教学，在学生合作等方面不断加强学习，特别注意平时的总结和反思。
