开课学院： 理学院 制作人：沈霞
课程名称 |
复变函数 |
授课对象所属专业 |
数学与应用数学 |
课程类型 |
专业课 |
开课年级 |
2022级 |
课程性质 |
专业必修 |
课程总学时 |
64 |
一、课程简介
复变函数论是数学专业的一门重要基础课，本课程用分析、几何和代数等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着及其重要的应用.
复变函数理论一般分为三个部分，由6章组成.第一部分为第一、二章，包括复变函数和解析函数的基本定理和定义；第二部分为第三章，由柯西积分理论组成；第三部分为第四、五、六章，由泰勒级数和洛朗级数理论以及留数的应用组成.
学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维，掌握复杂的计算技巧.
二、案例基本信息
1. 案例名称：
一叶而知秋——柯西积分公式及其推论
2. 对应章节：
第三章 复变函数的积分 §3 柯西积分公式及其推论
3. 课程讲次：
1次课（90分钟）
三、案例教学目标
1. 知识目标：
柯西积公式与解析函数的无穷可微性.
2. 能力目标：
熟练掌握和运用柯西积公式与解析函数的无穷可微性公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理，理解莫勒拉定理.
3. 价值目标：
通过学习柯西积公式与解析函数的无穷可微性公式，培养学生要能够善于从生活中发现数学，或是从数学中找到生活中的共同点，要脚踏实地的学习，从点滴做起，把握成长道路上的每一点，每一面，这样将来才能抓住随之而来的机遇.同时也要敢于面对自己的缺点和不足，金无足赤，人无完人，不要因自己身上的一些不足而影响了自己的人生；同时也要关爱他人，不要嘲笑他人的弱点，要相信每一个人身上都有值得你学习的地方，同时尽可能的帮助有需要的人.
四、案例主要内容
1. 课程内容：
2. 思政内容：
1. 讲解柯西积分公式时，介绍数学家柯西的故事，柯西作为一位高产的数学家有一个性格特点——不善与人交流. 教导学生不要被自己的某些不足而影响了自己的人生，金无足赤，人无完人；同时也要学会关爱其他人，不要嘲笑其他人身上的弱点,尽可能的帮助有需要的人，增强他们克服弱点的信心.
2. 解析函数在有界闭域D内的值，仅仅依赖于其边界上的取值，这一数学
特性在复数领域展示了深刻的洞察力，就像从一片叶子就能预见整个秋天的景色。这种“一叶知秋”的哲学，同样可以映射到我们的人生旅程中。在生活的道路上，我们经常会遇到那些关键时刻和决策，它们就像函数的边界值，能够深远地影响我们未来的走向和命运。因此，我们需要像对待解析函数一样，谨慎对待生活中的每一个选择，脚踏实地，紧紧抓住那些可能改变我们人生轨迹的机遇。通过这样做，我们才能更好地规划和管理自己的人生，就像数学家利用函数的边界值来预测其在整个解析域内的行为一样。
3. 数学家柯西，他在数学史上的地位仅次于欧拉，留下了丰富的学术遗产。他的名字与诸多定理和准则一同被镌刻在数学教材的篇章之中。深入探究柯西庞大的著作体系和卓越成就，我们不难感受到他一生对学术的执着追求和不懈努力。而在他临终之际所留下的那句“人总是要死的，但是，他们的业绩永存。”不仅是对生命的深刻体悟，更是对后来学子的长久激励。这句话鼓舞着无数年轻人不畏艰难险阻，坚定地走上追求真理的道路，勇攀科学的高峰。柯西的一生，不仅是一部辉煌的学术史，更是一部激励人心的奋斗史。
五、案例教学设计
1. 创设情境，引出新知
生活中有“一叶知秋”的说法，那么数学上是否也有类似说法呢？通过设问，激起学生的求知欲，引出柯西积分公式.通过介绍柯西的相关故事教导学生不要因自己的某些不足而影响了自己的人生，金无足赤，人无完人，也不要嘲笑其他人身上的弱点, 应该尽自己所能帮助有需要的人，增加他克服弱点的信心.
2. 合作交流，探索新知
首先,根据前面的引入，讲解柯西积分公式及其证明.
柯西积分公式：
证明完成后，对柯西积分公式给出下面四点说明：
（1）柯西公式表明解析函数在曲线C内的值可由曲线上的积分值表示.
（这是解析函数的又一特征）
（2）柯西公式给出了解析函数的一个积分表达式.
（这是研究解析函数的有力工具）
（3）柯西公式可变形为 
.
（此变形提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种新方法）
（4）柯西公式中
为被积函数在积分曲线C内唯一奇点.
解析函数在有界闭域D内部的值完全由其在边界上的值确定这一结论，体现了在复数域中解析函数的“一叶知秋”的特性. 同时介绍下一章我们也将学习类似的结论：若在区域D内解析的两函数
在D内某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等.
接下来给出几个典型例题，利用柯西积分公式和上一节学习的柯西积分定理和挖奇点法求出积分值. 通过例题掌握柯西积分公式的用法
例1：求下列复积分
(1) 
3. 引申拓广，巩固新知
提出如果上面例题中被积函数的分母平方后，比如例1(1)变成
后还能用柯西积分公式计算吗？为什么？
由于被积函数改变了，学生在教师的引导下，分析题目会发现柯西积分公式不能解决这个问题，因为被积函数不满足定理的条件，加深学生对公式成立条件的记忆.同时对于刚才提出的问题，学生会带着疑惑认真思考如何解决这类问题，很自然的就引入了解析函数的无穷可微性公式.
解析函数的无穷可微性：
解析函数的导数仍为解析函数.
即 
对解析函数的无穷可微性也给出下面三点说明：
（1）此结论意味着若
满足条件，则可以对无限次求导.
（2）解析函数的无穷可微性公式可变形为 
.
（此变形提供了计算某些复变函数沿闭路积分的又一种新方法）
（3）无穷可微性公式中也是被积函数在积分曲线C内唯一奇点.
解释完解析函数的无穷可微性后解决刚才用柯西积分公式不能解决的例题1中（1）的变形.然后再给出两个例题对定高阶导数公式的应用加以强化.
例2：求复积分
例3：
利用解析函数的无穷可微性可以推出柯西不等式、刘维尔定理和莫勒拉定理.在介绍完刘维尔定理后，可以用该定理从另一个角度解释为什么在复数域中函数
会无界；最后利用莫勒拉定理指出柯西积分定理的逆命题也成立.
柯西不等式：
刘维尔定理：
有界整函数必为常数.
莫勒拉定理：
莫勒拉定理从积分的角度为判断一个函数
是否解析提供了一种新方法.
4. 共同总结，强化新知
和学生共同总结本次课的主要内容：本次课的主要内容是柯西积分公式及解析函数的无穷可微性，通过这次学习，让学生明白了不仅生活中可以做到一叶而知秋，在数学中同样存在这样的情况. 告知学生要脚踏实地，从点滴做起， 要不畏艰险，勇于面对困难和挑战，追求真理、把握机遇的一些哲理.
六、教学反思
复变函数课程中柯西积分公式及其推论的教学反思
1. 在“创设情境，引出新知”方面
在创设情境环节，我通过汉语成语中“一叶知秋”引出复数域中的“一叶知秋”，使学生明确柯西积分公式的实际应用价值和重要性。
2. 在“合作交流，探索新知”方面
在合作交流环节，我鼓励学生分组讨论，共同探索柯西积分公式的推导过程及其性质。我注意到，学生在讨论过程中表现出了极高的热情和参与度，他们积极分享自己的见解和思路，相互补充和完善。通过这种合作交流的方式，学生不仅深入理解了柯西积分公式的内涵，还培养了团队协作和沟通能力。
3. 在“引申拓广，巩固新知”方面
在引申拓广阶段，通过对合作交流环节中的例题做适当变化，抛出新的问题，
引导学生继续探讨：柯西积分公式还能继续发挥作用吗？如果不能，为什么？我们又该如何解决新的问题？我注意到，通过引申拓广，学生对柯西积分公式的理解更加深入，对柯西积分公式与解析函数的无穷可微性的关系，以及适用场合也有了更清晰的认识。同时，学生在解决问题时能够灵活运用柯西积分公式和解析函数的无穷可微性公式，巩固了新知。
4. 在“共同总结，强化新知”方面
在共同总结阶段，我与学生一起回顾了柯西积分公式及其推论的学习过程，总结了重点和难点。我鼓励学生分享自己的学习心得和体会，以便相互借鉴和学习。通过共同总结，学生对柯西积分公式的理解更加全面和深刻，对复变函数课程的兴趣也更加浓厚。
经过这四个教学环节的实施，我深感复变函数课程中柯西积分公式及其推论的教学取得了一定的成效。然而，在教学过程中也存在一些不足和需要改进的地方。首先，在创设情境环节，我应更加注重数学知识与实际生活中的联系，选择更加贴近学生生活和兴趣的案例，以激发学生的学习兴趣和动力。其次，在合作交流环节，我应更加注重学生的个体差异和参与度，鼓励每个学生都能积极参与讨论和分享。最后，在引申拓广和共同总结环节，我应更加注重学生的自主学习和探究能力，引导他们主动拓展知识和深化理解。
综上所述，复变函数课程中柯西积分公式及其推论的教学是一个循序渐进、不断深化的过程。在未来的教学中，我将继续改进和完善教学方法和手段，努力提高教学质量和效果，为学生的全面发展奠定坚实的基础。
