附件2：
《高等代数Ⅱ》课程思政教学案例
（理学院；石定琴）
一、课程基本信息
课程名称 |
高等代数Ⅱ |
课程性质 |
专业基础课 |
学 分 |
4.5 |
学 时 |
80 |
开课专业 |
数学与应用数学 |
授课对象 |
数学与应用数学专业学生 |
二、课程思政建设总体思路
（一）高等代数Ⅱ课程思政建设目标：
1、提升思想政治素质：通过将思政元素融入高等代数Ⅱ的课程教学中，引导学生深入理解并践行社会主义核心价值观，帮助他们树立正确的世界观、人生观和价值观，从而提升学生的思想政治素质。
2、培养创新精神和实践能力：在高等代数Ⅱ的教学中，注重培养学生的创新精神和实践能力。通过引入数学领域的前沿问题和挑战，激发学生的求知欲和探索精神，鼓励他们勇于尝试新方法、新思路，培养他们在解决实际问题中的创新能力。
3、强化团队协作和沟通能力：在高等代数Ⅱ的教学过程中，鼓励学生参与小组讨论、课题研究等活动，培养他们的团队协作能力和沟通能力。通过团队协作，学生可以学会如何与他人合作、如何分享知识和经验，以及如何有效地解决问题。
4、深化数学文化与人文精神的融合：通过讲述数学家的故事、探讨数学史的发展，将数学文化与人文精神融入到高等代数Ⅱ的教学中。这有助于学生更好地理解和欣赏数学的美，激发他们对数学的兴趣和热爱，同时也能提升他们的人文素养。
5、促进综合素质的全面发展：高等代数Ⅱ课程思政的建设旨在促进学生的综合素质的全面发展。通过优化课程设计、丰富教学内容、创新教学方法等手段，全面提升学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
综上所述，高等代数Ⅱ课程思政的建设目标旨在通过融入思政元素，全面提升学生的思想政治素质、创新精神、实践能力、团队协作能力和综合素质，为他们成为具有社会责任感和创新精神的高素质人才打下坚实的基础。
（二） 高等代数Ⅱ思政内容挖掘：
1、数学史与数学家精神：研究并引入高等代数的历史背景，介绍一些杰出数学家的故事，特别是他们的探索精神、科学态度和爱国情怀，从而培养学生的科学精神和爱国情怀。
2、数学哲学与思辨能力：挖掘高等代数中的哲学思想，如数学与逻辑的关系、数学真理的客观性等，引导学生深入思考数学的本质和意义，培养他们的思辨能力和批判精神。
3、数学应用与社会价值：强调高等代数的应用价值，展示其在物理、工程、经济等领域的应用实例，使学生认识到数学在推动社会进步中的重要作用。
（三） 高等代数Ⅱ思政教学融入：
1、案例教学：结合具体的数学问题和实际案例，引导学生分析和解决问题，使他们在解决问题的过程中自然接触到思政元素。
2、课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，鼓励他们发表自己的观点和看法，通过交流和碰撞，深化对思政内容的理解。
3、项目式学习：设计一些与思政内容相关的数学项目，让学生在完成项目的过程中，体验数学的应用价值和社会责任。
三、课程思政典型教学案例
（一）案例名称
从特征值与特征向量看科技发展与国家战略
（二）教学目标
1、知识目标：掌握特征值与特征向量的基本概念与计算方法，理解其在科技发展与国家战略中的应用价值。
2、能力目标：培养学生运用特征值与特征向量分析科技问题的能力，提升其跨学科思维与综合应用的能力。
3、情感目标：激发学生关心国家科技发展的热情，增强其服务国家战略、实现科技强国的使命感。
（三）教学设计与组织实施
1、教学内容与重点
(1)内容：特征值与特征向量的定义、性质、计算方法及其在科技领域的应用实例；科技发展与国家战略的关系，以及数学特别是特征值与特征向量在其中的作用。
(2)重点：特征值与特征向量的计算方法及应用实例分析，特别是与国家重大科技战略相关的案例。
2、教学方法与手段
(1)方法：采用案例分析法、讨论式教学法、问题导向学习法等，引导学生主动探究、合作学习。
(2)手段：利用多媒体教学资源，展示特征值与特征向量在科技领域的应用视频、图片等，增强教学的直观性和趣味性。
3、教学过程设计
(1)导入新课：通过介绍国家科技发展的重大成就和战略需求，引出数学特别是特征值与特征向量在其中的重要作用，激发学生的学习兴趣。
特征值与特征向量作为线性代数中的核心概念，在人工智能与机器学习、量子通信与量子计算、航空航天与控制系统、信号处理与图像处理等领域起着关键性的作用。
在人工智能和机器学习领域，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维、特征提取和模式识别等方面。例如，在人脸识别技术中，特征值与特征向量用于提取人脸图像的关键特征，并与数据库中的特征进行比较，以实现快速准确的人脸识别。这一技术在国家公共安全、智能安防等领域具有广泛应用前景。
在人脸识别中，特征值与特征向量被用来表达人脸图像的特定属性和特征。从人脸图像提取的特征通常被编码为固定长度的向量，即特征向量；而编码方式可以是PCA(主成分分析)降维，即利用特征值确定主成分。那么什么是特征值与特征向量呢？下面老师给出特征值与特征向量的定义。
(2)知识讲解：系统讲解特征值与特征向量的基本概念、性质及计算方法，为后续应用分析打下基础。
①先给出特征值与特征向量的定义。
定义1 设
是数域
上线性空间
的一个线性变换，如果对于数域中的一数
，存在一个非零向量
，使得 
那么
称为
的一个特征值，而
称为的属于特征值的一个特征向量。
②根据上述定义来解释特征值与特征向量的本质特征。
特征向量的实质是那些在经过线性变换后，方向保持不变（或说具有保角性）的向量。这意味着，当对一个特征向量应用线性变换时，该向量只会发生大小上的变化（即拉伸或压缩），而不会改变其方向。这种性质使得特征向量在描述线性变换的特性时具有重要的作用。
特征值的实质则是衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子。当特征向量经过线性变换时，其长度会按照特征值所指示的比例进行变化。特征值可以是正数、负数或零，这决定了特征向量在变换后是伸长、缩短还是保持不变。特别是当特征值为负时，表示向量在变换后不仅大小改变，而且方向也会发生反转。
综上可知：特征值可以看作是线性变换或矩阵的“伸缩比例”，而特征向量则指出了这个伸缩发生的方向。通过计算和分析特征值与特征向量，可以更准确地识别人脸，并降低计算量。
③接下来解决特征值与特征向量的计算问题，采用分组讨论的方法，培养学生的自主探索、团队合作精神。
老师先将学生分成几个小组，设置一些小的问题，一步一步引导学生思考，最终得出求特征值与特征向量的方法，最后老师总结如下：
求特征值与特征向量的步骤：
(1)在线性空间中取一组基
，写出在这组基下的矩阵
；
(2)求矩阵 的特征多项式在数域中的全部的根，它们就是线性变换的全部特征值；
(3)把所求得的特征值逐个代入方程组
，对每个特征值解上述方程组，求出基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样就求出了属于每个特征值的线性无关的特征向量。
④根据上面分析得出的方法，给出相关例题，将理论与实践相结合，培养学生解决实际问题的能力。其中例1主要由老师分析讲解，例2则交给学生，老师在适当的时候进行指导提示。最后，老师再将此类问题的解决思路进行总结，帮助学生深刻理解并记住。
例1、设线性变换在基
下的矩阵为
，求的特征值与特征向量。
例2、已知
的线性变换
求的特征值与特征向量。
(3)案例分析：选取与科技发展和国家战略紧密相关的案例，如人工智能、量子通信、航空航天等，详细分析特征值与特征向量在这些领域中的应用，突出其解决实际问题的价值。下面以人工智能领域为例：
特征值与特征向量在人工智能领域具有广泛的应用，尤其在机器学习和深度学习中。在人工智能方面的几个应用主要有：主成分分析（PCA），文本挖掘和推荐系统，自然语言处理（NLP），图像识别和计算机视觉等。
特征值和特征向量在人脸识别中的Eigenfaces方法应用中，扮演着至关重要的角色。Eigenfaces方法是一种基于主成分分析（PCA）的人脸识别技术，它利用特征值和特征向量来提取和表示人脸的主要特征。
以下是一个Eigenfaces方法应用的具体例子：假设我们有一个包含多个已知人脸图像的训练集。我们的目标是使用Eigenfaces方法从这些图像中提取特征，并建立一个模型，以便能够识别新的人脸图像。首先，我们会对训练集中的所有人脸图像进行预处理，包括灰度化、归一化等操作，以消除光照、角度等因素对图像的影响。然后，我们计算这些预处理后图像的协方差矩阵。接下来，我们对协方差矩阵进行特征值分解。这个过程会得到一组特征值和对应的特征向量。这些特征向量就是“特征脸”，它们捕捉了人脸图像中的主要变化模式。在识别阶段，我们首先将待识别的人脸图像进行相同的预处理操作。然后，我们将这个预处理后的图像投影到之前得到的特征脸上，得到一组投影系数。这组系数实际上描述了待识别图像与每个特征脸之间的相似度。最后，我们通过比较这组投影系数与训练集中已知人脸图像的投影系数，来找出与待识别图像最相似的人脸。这个比较过程可以通过计算欧几里得距离、余弦相似度等方式来实现。
通过这个例子，我们可以看到特征值和特征向量在Eigenfaces方法中的关键作用。它们不仅帮助我们提取出人脸的主要特征，还为我们提供了一种有效的方式来表示和比较这些特征，从而实现准确的人脸识别。下面给出一个极简的模型：
例3.假设我们有一个简单的训练集，包含两个人的人脸图像数据，每个图像数据是一个二维向量。我们的目标是使用Eigenfaces方法提取特征，并识别新的人脸图像属于哪个人。
步骤1：准备数据
假设我们有以下两个人的人脸图像数据（这里为了简化，我们仅使用二维向量表示）：人脸A:
,人脸B: 
.
我们将这两个向量组合成一个矩阵：
步骤2：计算协方差矩阵
协方差矩阵
是 
的转置乘以 ，然后除以样本数（这里为2）：
步骤3：特征值分解
接下来，我们对协方差矩阵 
进行特征值分解，得到特征值和特征向量。特征值分解的一般形式为 
，其中
是对角矩阵，包含特征值，是包含对应特征向量的矩阵。
对于本例中的简单情况，我们可以直接计算特征值和特征向量。特征值分解后，我们得到特征值 
和对应的特征向量 
。
我们得到的特征值和特征向量如下（具体的计算过程让学生完成）：
特征值： 
, 特征向量：
.
步骤4：选择主成分
通常，我们选择特征值较大的特征向量作为主成分，因为它们代表了数据中的主要变化方向。在这个例子中，我们选择 
作为主成分（因为它对应的特征值 
较大）。（此处可以让学生思考讨论选择主成分的依据）
步骤5：识别新的人脸图像
现在，假设我们有一个新的人脸图像数据 
，我们想要判断它属于人脸A还是人脸B。(下面的计算和判断由教师引导学生自主完成)
我们将新的人脸图像数据投影到主成分 上，计算投影系数：
.
然后，我们将训练集中的人脸图像数据也投影到主成分 上，计算它们的投影系数：
.
最后，我们比较新的人脸图像的投影系数与训练集中人脸图像的投影系数，找出最相似的人脸。在这个例子中，新的人脸图像的投影系数 
更接近人脸B的投影系数 
，因此我们可以判断新的人脸图像属于人脸B。
这个例题展示了特征值和特征向量在Eigenfaces方法中的应用过程。通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量，我们可以提取出人脸图像的主要特征，并利用这些特征进行人脸识别。
值得注意的是，Eigenfaces方法虽然在一些情况下表现出色，但也存在一些局限性。例如，它对光照和角度的变化比较敏感，因此在复杂场景下可能需要结合其他方法或进行额外的优化。此外，随着深度学习技术的发展，越来越多的研究者开始探索使用神经网络来提取和表示人脸特征，这也为人脸识别领域带来了新的突破和进展。
(4)讨论交流：组织学生就特征值与特征向量在科技发展与国家战略中的作用进行讨论，分享各自的理解和看法，培养学生的思辨能力和合作精神。
(5)总结提升：总结本节课的主要内容，强调特征值与特征向量在科技发展与国家战略中的重要作用，引导学生深入思考如何运用所学知识服务于国家发展。
4、作业与拓展
(1)作业：布置习题:课本P221面19题1)2)3)4)，复习巩固所学内容，加强学生对特征值与特征向量的理解；要求学生查阅资料，了解更多关于特征值与特征向量在科技领域的应用实例。
(2)拓展：鼓励学生参与科技竞赛、研究项目等，将特征值与特征向量的知识应用于实际问题解决中；引导学生关注国家科技发展的最新动态和战略需求，培养其服务国家战略的意识。
（四）教学效果及反思
新课导入阶段，通过介绍特征值与特征向量在人工智能与机器学习、量子通信与量子计算、航空航天与控制系统、信号处理与图像处理等领域的重要作用，能很好地激发学生的学习兴趣，并能理解特征值与特征向量在科技发展与国家战略中的应用价值。
接下来在引入特征值和特征向量的定义后，组织学生分组讨论如何求特征值和特征向量，老师提出一些问题，引导学生思考，充分调动学生的积极性和主动性，培养他们的团队意识和创新能力。不仅能帮助学生掌握特征值与特征向量的基本概念与计算方法，还能让学生领会探索新知的科研精神。
在例题教学中，先由教师讲解例1，给出一个示范，再由学生自主探索例2，教师在关键的点给出适当的提示，让学生独立解决实际问题，培养学生理论联系实际，学以致用的能力。
最后，以人工智能领域的人脸识别为例，详细分析特征值与特征向量在该领域中的应用，突出其解决实际问题的价值。让学生看到所学知识的重用性以及对国家发展的重要作用。
课后要求学生继续查阅特征值与特征向量在相关领域的应用资料，一方面让学生开阔眼界，另一方面让学生为国家在相关领域取得的突出成就感到自豪，激发学生关心国家科技发展的热情，增强其服务国家、实现科技强国的使命感。
整个教学过程效果良好，充分体现了“以学生为中心”的教学理念，并且将思政元素有机融合到教学内容中，正真让学生学有所得、学有所感、学有所悟！
同时，还存在很多不足之处，比如：组织学生讨论问题时，时间把握得不准，导致课程时间很紧；在引导学生思考问题时，给出的小问题有时候难度过大，导致学生无从下手。针对以上问题，课后会不断进行反思整改，争取在今后的教学中逐步克服解决。另外，还要继续关注科技发展与国家战略的最新动态，不断更新教学内容和案例，保持教学的时效性和前瞻性。
四、课程思政建设特色与创新（总结课程思政建设的特色、亮点和创新点，凝练可供同类课程借鉴、共享的经验做法。）
1、将教学内容与科技发展和国家战略相结合，引导学生关注国家科技发展的最新动态和战略需求，培养其服务国家战略的意识。
2、教学过程以“学生为中心”，采用讨论式教学法、问题导向学习法等，引导学生主动探究、合作学习。提升学生的创新精神和团队协作能力。
3、教学过程注重培养学生的动手能力，引导学生将所学知识灵活运用于实际问题当中，理论与实践相结合，提高学生分析问题、解决问题的能力。
注意事项：
1.案例标题微软雅黑四号居中，标题下方小四号楷体注明作者单位及姓名，案例正文微软雅黑小四号（小标题加粗），20磅行距。
2.案例总字数控制在5000字以内；案例中的图片和表格要确保清晰。
