开课学院：理学院 制作人：张小芝
课程名称 |
《数学分析》（II） |
授课对象所属专业 |
数学与应用数学 |
课程类型 |
专业基础课 |
开课年级 |
大一 |
课程性质 |
专业基础课 |
课程总学时 |
96 |
一、课程简介（300字左右）
数学分析是数学专业最重要的一门专业必修课，是许多后继课程如微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、计算方法、微分几何、概率论与数理统计等课程必备的基础。数学分析课程的教学内容主要有：数列极限、一元函数极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数极限与连续性、多元函数微分学、多元函数积分学、级数理论等。教学任务是使学生获得数学的基本思想方法和极限理论、一元和多元微积分、级数理论、反常积分等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如《微分方程》、《实变函数》、《概率论与数理统计》及《普通物理学》等）提供一些所需的基础理论和知识，另一方面还对提高学生思维能力，开发学生智能加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）及培养学生独立工作能力等起着重要的作用。
二、案例基本信息
1.案例名称：数学看人生——定积分的概念
2.对应章节：第九章第一节《定积分概念》
3.课程讲次：第九章第一次课
三、案例教学目标
（1）知识目标
结合数学史和数学文化，回顾极限的相关内容，通过探求曲边梯形的面积及变速直线运动路程问题，了解“以直代曲”的数学思想，构建定积分的认知基础，从而进一步感受有限与无限的联系与极限的思想在实践中的应用。
（2）能力目标
通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学抽象能力和辩证思维能力，通过分析解决实际案例，培养学生的数学建模能力。
（3）素质目标
培养新时代学生“工匠精神”，借助高等数学课程具有“科学严密、逻辑性强”等特点，引导学生坚守科学理念，强化数学意识，在教学过程中逐步提升学生精益求精、勇于创新的品质。
（4）思政教学目标
通过对极限的回顾与定积分概念的理解，帮助学生意识到“不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海”的深刻哲理。通过提炼数学分析课程中所蕴含的人文精神、社会责任、爱国情怀等价值范式，树立和践行社会主义核心价值观，逐步增强学生的社会责任感、使命感和爱国热情。
四、案例主要内容
（1）引例
曲边梯形面积的计算，以及变力做功两个例子，引导学生分析问题，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤逐步实现，引导出定积分的定义。
（2）定积分的定义讲解及相关注意事项，几何意义。
（3）融入课程思政
通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学建模能力和辩证思维能力，发扬精益求精，科学严谨的探索精神。
五、案例教学设计
（1）定积分的概念
教师精讲：通过两个引例，逐步引申出定积分的概念，并对关于定积分的定义，进行相应的说明。
（2）定积分的几何意义
结合曲边梯形面积的例子，归纳定积分的几何意义。当函数在区间上非负时，定积分表示由相应曲边梯形的面积；当函数在区间上非正时，定积分表示由相应曲边梯形的面积的相反数；当函数在区间上有正有负时，定积分表示所围成的图形各部分面积的代数和。
巩固练习、归纳小结
通过具体例题，以小组为单位，针对本堂课重点内容进行总结。由小组代表总结定积分的实质及定积分的思想和方法。
（3）融入课程思政
通过探讨定积分概念的形成过程，培养学生的数学建模能力和辩证思维能力，发扬精益求精，科学严谨的探索精神。定积分的起源展现了中国数学成就，能够极大地增强学生的民族自豪感和文化自信，激发学生的爱国热情。让学生了解祖先智慧，传承祖先文化，增强民族自信心，进而激励学生为祖国的繁荣富强和中国梦的实现而努力奋斗。
六、教学反思
本节课通过引入两个生活中常见的面积及路程问题，让学生在建模的过程中掌握“以直代曲”的思想，但由于学生的抽象思维和认知水平还处于发展阶段，对于他们来说掌握解决求曲边梯形面积的这种定积分思想还是一个比较困难的，需要一个消化过程。本节课的重点在于对思想方法的了解，让学生体会“以直代曲”“由特殊到一般”这些比较常用的数学方法。在教学过程中还值得注意的是分组学习讨论环节，教师要通过多种手段多个角度来调动所有学生的积极性，让学生们都参与到数学问题的探讨当中，每次讨论结果由小组成员轮流发言，做到面面俱到。通过本节课，更深刻地体会了“以学生为中心”的教育理念，把课堂交给学生，正确引导学生，学生才有可能焕发出新的探索能力，课堂才能成为新观点、新思想、新方法、新知识的孵化地。
